Gillet Cup IV - ny rating

[Per Starback]

Med anledning av den nya ratingen har jag fått två frågor om hur
systemet fungerar egentligen. Detta borde naturligtvis förklaras
på mina webbsidor. Ett skäl till att det inte blivit av är att det
länge kändes som att ett nytt ratingsystem var på väg i vilket fall.
Nå, här är en förklaring från SSF-nytt #1, något uppfräschad:

Nedanstående finns nu även på
<http://stp.ling.uu.se/~starback/scrabble/om-rating.html>.

                                - * -

Nya spelare går in på 1000 i rating, och sen ökar ens rating för
varje vinst och minskar för varje förlust med ett belopp som beror på
skillnaden i rating mellan en själv och ens motståndare.

Man utför dock inte dessa uträkningar efter varje match, utan först
efter en hel tävling. (Det är alltså alla spelares rating *före* hela
tävlingen som används vid uträkningarna.) När en spelares rating ska
ändras efter en tävling så räknar man först ut hur många matcher den
spelaren "borde" ha vunnit med tanke på motspelarnas rating, och så
jämför man med hur många matcher spelaren verkligen vann. Skillnaden,
multiplicerad med 10, avgör hur spelarens rating ska ändras. Så om
t.ex. en spelare "borde" ha vunnit 3,13 matcher (borde-värdet är inte
nödvändigtvis ett heltal) men vann hela 4 matcher så är skillnaden
0,87. Multiplicerat med 10 ger det 8,7 och ratingen går därför upp
med 9, eftersom det ska avrundas till ett heltal.

En vanlig fråga här är om det verkligen räcker att bara titta på
*hur många* matcher man vann. Spelar det inte roll
*vilka* av matcherna man vann? Nä, faktiskt inte. Om man möter
en spelare med hög rating och en spelare med låg rating och vinner en
av de två matcherna så får det samma resultat oavsett vilken av
matcherna det var man vann. Om man vann mot den högt rankade spelaren
så får man en rejäl skjuts uppåt av det, men i gengäld så får man en
rejäl skjuts neråt av att man förlorade mot den lågt rankade spelaren.
Vinner man istället mot den lågt rankade spelaren så åker man bara
lite uppåt av det, och så åker man bara lite neråt av att man förlorat
mot den högt rankade spelaren. På motsvarande sätt tar det hela ut
varann oavsett vilka motståndare man har mött.

Det är endast *skillnaden* i rating som avgör hur stor chans en
spelare anses ha att vinna över en annan. Oavsett om det är två mycket
duktiga spelare eller två mindre duktiga spelare som möter varann så
antas den spelare som har 9 högre i rating ha 54% chans att vinna över
sin motspelare, så i ett sådant möte anser ratingsystemet att spelaren
med högre rating "bör" vinna 0,54 matcher och spelaren med lägre
rating 0,46 matcher.

Om spelaren med högre rating vinner ett sådant möte har denne
vunnit vunnit 1 hel match istället för bara 0,54 matcher, dvs. 0,46
matcher "för mycket" och går därför upp 4,6 i rating, medan
motspelaren går ner 4,6.

Avrundat blir detta 5 poäng vilket är vad man går upp när man vinner
över någon med precis samma rating. Men eftersom man inte avrundar
förrän efter att man räknat ihop hela tävlingens resultat kan dessa
tiondelar komma att spela roll.

(Om det blir remi har båda spelarna vunnit 0,5 matcher vilket
är 0,04 för lite för spelaren med högre rating, men 0,04 för mycket
för spelaren med lägre rating.)

Varför anses då spelaren med högre rating ha just 54% chans att
vinna i detta fall? Jo, det är det värde 9/100 (ratingskillnaden genom
hundra) har för fördelningsfunktionen för den standardiserade
normalfördelningen. Den funktionen hittar man i tabellsamlingar under
namnet Fi(x).

Detta låter kanske som rena grekiskan för den som inte är matematiskt
bevandrad. Här följer en liten tabell som visar ratingförändringar för
några ratingskillnader.

Ratingskillnad   Förändring när vinnarens rating var
			högre	lägre

	0		5,0	5,0
	10		4,6	5,4
	20		4,2	5,8
	30		3,8	6,2
	40		3,4	6,6
	50		3,1	6,9
	60		2,7	7,3
	70		2,5	7,5
	80		2,1	7,9
	90		1,8	8,2
	100		1,6	8,4
	120		1,2	8,8
	140		0,8	9,2
	160		0,5	9,5
	180		0,4	9,6
	200		0,2	9,8

=== Avrundning ===

Tabelluppslagningen och uträkningarna sker med fyra decimaler, men
den resulterande nya ratingen är alltid ett heltal utan några dolda
decimaler.

=== Teori ===

Modellen bakom detta är att varje spelare har en inneboende
"brahet" (approximerad av ratingen) kring vilken den brahet som
spelaren visar upp i en enskild match varierar enligt
normalfördelningen. Den som får ur sig mest brahet i en viss match
vinner matchen.

/Per